Die Einbettung von YouTube-Videos ist eine feine Sache. Man kopiert den Einbettungs-Code, fügt ihn in einen Blogartikel ein und schon wird das entsprechende YouTube-Video im Artikel angezeigt.
Dank der in WordPress integrierten Embed-Funktion geht das ganze sogar noch einfacher: Man kopiert einfach die YouTube-URL, fügt diese in den Artikel ein und schon ist es im Artikel drin.
Was den Datenschutz angeht, ist das jedoch nicht ganz unproblematisch.
Durch das Einbetten von YouTube-Videos werden diverse Verbindungen zu Google-Servern aufgebaut, durch welche mehrere Cookies im Browser deiner Leser gespeichert und Informationen über diese an YouTube und Googles-Werbedienst DoubleClick gesendet werden:

Und das schon bevor deine Leser auf das Video klicken!
Es gibt jedoch mehrere Lösungen, um das zu verhindern und YouTube datensparsamer einzubetten.
Vier davon stelle ich dir in diesem Artikel vor:
1. Einbetten mit erweitertem Datenschutzmodus
YouTube selbst bietet die Möglichkeit, Embed-Codes zu generieren, bei dem keine Cookies gesetzt werden.
Dazu geht man unter dem YouTube-Video auf Teilen > Einbetten, scrollt herunter und setzt ein Häkchen bei Erweiterten Datenschutzmodus aktivieren:

PS: Ist übrigens ein sehr empfehlenswertes Video für alle, die einen Tritt in den Hintern brauchen!
Die Videos werden dann nicht von der Domain youtube.com, sondern von youtube-nocookie.com geladen:
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube-nocookie.com/embed/nShlloNgM2E" frameborder="0" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen></iframe>
Die Methode hat jedoch zwei Nachteile:
Nachteil #1:
Du musst erstens den gesamten Blog nach YouTube-Videos durchsuchen und jedes einzelne durch den neuen Embed-Code ersetzen.
Nachteil #2:
Es werden immer noch diverse Verbindungen zu Google-Servern hergestellt (inkl. eines Cookies, das allerdings nur sehr wenige Informationen enthält), bevor der Nutzer überhaupt auf das Video geklickt hat:

Immerhin werden jetzt deutlich weniger Nutzerdaten an YouTube gesendet. Und gar keine mehr an den Werbedienst DoubleClick.
Aber das geht noch besser!
2. YouTube Lyte
Mit dem WordPress-Plugin YouTube Lyte (das übrigens vom Entwickler des beliebten Plugins Autoptimize kommt) kannst du YouTube-Videos noch datensparsamer einbinden.
Das Plugin bewirkt nämlich, dass lediglich das Vorschaubild von YouTube-Servern geladen wird. Das Video selbst wird erst geladen, nachdem der Nutzer auf den Play-Button geklickt hat.
Ein positiver Nebeneffekt:
Das Plugin verbessert die Ladezeit deiner Website (zu diesem Zweck wurde es eigentlich entwickelt).
Es erkennt dabei YouTube-Videos automatisch (auch in Form einfacher Links) und ersetzt sie durch die Zwei-Klick-Variante. Das heißt du musst nicht händisch Einbettungs-Codes ersetzen!
Vom Design her sieht das ganze fast genauso aus wie die normalen YouTube-Embeds:

Laut den Chrome Developer Tools wird dabei nur eine einzige Verbindung zu YouTube aufgebaut, nämlich die für das Vorschaubild:

Wenn du es noch datensparsamer möchtest, kannst du in den Einstellungen festlegen, dass Beitragsbilder auf dem eigenen Server zwischengespeichert werden.
Das sorgt dafür, dass keine externe Verbindung mehr zu YouTube aufgebaut wird.
Seit Version 1.7.2 lässt sich unter den Videos ein Hinweis-Text einblenden (um z. B. auf die Datenschutzerklärung zu verweisen):

Seit Version 1.7.3 werden YouTube-Videos auch nicht mehr von der Domain youtube.com, sondern von youtube-nocookie.com geladen. Das ist für den Datenschutz ebenfalls eine sehr sinnvolle Verbesserung!
3. Real Cookie Banner

Real Cookie Banner halte ich für die mit Abstand beste Lösung zur DSGVO-konformen Einbindung von YouTube.
Das WordPress-Plugin bietet nicht nur eine Opt-in-Lösung für extern eingebundene Scripte, wie z. B. Google Analytics oder den Facebook Pixel, sondern mit einem integrierten „Content-Blocker“ auch die Möglichkeit YouTube-Videos und andere eingebettete Inhalte nachzuladen.
Das Plugin bietet gegenüber YouTube Lyte diverse Vorteile:
- Der Content-Blocker funktioniert auch für Vimeo-Videos, Instagram-Posts und beliebige Inhalte, die per iframe geladen werden.
- Nutzer können bereits beim Laden der Seite bestimmen, dass alle externen Medien angezeigt werden sollen
- Der Content-Blocker funktioniert auch ohne API-Key von YouTube
- Das Plugin wird regelmäßig aktualisiert und bietet deutschen Support
- Du benötigst kein zweites, drittes oder viertes Plugin für weitere externe Dienste (Real Cookie Banner ist eine All-in-one-Lösung!)
- Jede Einwilligung wird von Real Cookie Banner in der WordPress-Datenbank protokolliert
Ein eingebettetes Video mit dem Content-Blocker von Real Cookie Banner sieht so aus:

Weitere Informationen zu Real Cookie Banner kannst du in meinem ausführlichen Vergleich von WordPress-Cookie-Plugins nachlesen.
4. Einen Link zu YouTube setzen
Die mit Abstand datensparsamste Methode, um deinen Besuchern ein YouTube-Video zu zeigen, ist ein einfacher Link zum Video, wie z. B.:
https://www.youtube.com/watch?v=nShlloNgM2E
Der Nachteil besteht natürlich darin, dass deine Nutzer dann deine Website verlassen und zu YouTube weitergeleitet werden.
Das ist dir vielleicht schon klar, aber der Vollständigkeit halber soll das hier nicht unerwähnt bleiben.